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概括地说,人类文明对于大自然的认知和理解的进化过程是由定性层面向定量层面深化。例如先定性地认识到我们所在的大地乃是一个大球,然筱再进而估计和测量地球的大小。基础数学的起源就是上述认知定量化的自然产物,而基础数学本身的进程则可以大体简述如下:
1)数系的构造与逐步扩充,例如自然数系、整数系和分数系,这乃是算术的范畴。
2)由算术进步到代数的关键在于数系运算律的系统运用网店装修,亦即以通性求通解。
3)几何学,是人类对于其所在的空间本质的认知的逐步深化,其演进过程大体如下:实验几何-定性平面几何-定量平面几何-立体几何-坐标解析几何-向量几何。
4)解析几何乃是代数与几何的自然结合。由此再产生研讨变量问题的基础理论微分与积分则是水到渠成、顺理成章的更上一层楼。
由此可见,代数在整个数学知识体系中占据重要地位。
要真正理解和掌握代数思想,你需要从四个方面把握代数的巨大能量:
1)对数学规律的把握:对数与运算规律的简化
2)对客观规律的把握:分析建模的能力
3)对人类思维的简化:把逆向思考正向化
4)三者融合:认识世界、理解世界和改变世界
对数学规律的把握:对数与运算规律的简化前面的「数与运算」部分主要研究的是项武义教授讲的:
1)算术范畴。
在算数阶段,我们研究的是具体的数和运算。例如8+5+2,就是具体的数字和计算。这种方法我们只能一个个解决具体的问题,很难抽象出通用的规律,批量地解决问题和认识世界。
而要上升到规律层面的研究和分析,我们就需要超越具体的数和运算,来表达和研究通用层面的数和运算,这就要进入代数的研究领域。
而从算术进入代数的起点,就是对数的四则运算规律的研究。用项武义教授的说法,就是:
2)由算术进步到代数的关键在于数系运算律的系统运用,亦即以通性求通解。
在算术阶段,为了提高四则运算的效率,我们经常会用到巧算。
但这个阶段,娃的巧算经常会出错,因为都是凭自己的感觉和经验。
例如,623-35+65,娃就会直接算成:623-(35+65)。因为她发现后面两个相加正好能凑成100。
要真正解决这个问题,还是要回到对四则运算规律本质的研究。
而要研究清楚四则运算规律,就会很自然地引入代数的概念。
例如,我们研究加减巧算的规律:
19+7-9=19-9+7
26+5-6=26-6+5
99+8-9=99-9+8
观察这些算式,我们发现算式中好像存在一种普遍的规律,但是很难描述。比如,如果描述的话,我们可能会说,第一个数加第二个数减第三个数,等于第一个数减第三个数加第二个数。这样听上去就很绕,不容易理解。
那要如何简单地表达这个规律呢?
我们就需要一个通用的数来代替具体的数字。例如,用a来表示第一个数,b来表示第二个数,c来表示第三个数。上面的算术就可以简化为:
a+b-c=a-c+b
这样一来,我们就通过3个字母表示了各种各样的数字,用1个代数式简洁地表达了无数个算术式,提炼出了它们的核心规律。
基于代数思想,我们就可以把所有的四则运算规律都用代数式来表达了。例如:
加法交换律:a+b=b+a加法结合律:a+b+c=a+(b+c)乘法交换律:a.b=b.a乘法结合律:a.b.c=a.(b.c)乘法分配律:a.(b+c)=a.b+a.c这样一来,我们就从千变万化的算术运算中,抽象出了本质规律。有了这些规律,又可以反过来更好地指导我们的算术运算,比如巧算就是从这些规律来的。
对客观规律的把握:分析建模的能力代数思想在我们理解客观世界中,也扮演着重要角色。
有了代数网店装修,我们就可以方便地对客观世界进行建模,做定量的规律性分析。例如,牛顿发现运动三大定律,就是在建立函数、分析变量关系中产生的。
到了初中阶段之后,物理学科很大程度都是在研究和分析客观世界的规律,而数学则为这种研究提供代数工具。
而在小学阶段,则是代数思想的导入阶段。在这个阶段,我们还不会去分析客观世界的本质规律,但已经可以用它来建模。
例如,在思考题中:
今年,哥哥和弟弟两人年龄之和是38岁,弟弟比哥哥小10岁,今年哥哥几岁?
在这个题目中,我们就可以运用代数来建模:
假设哥哥的年龄是a,弟弟的年龄是b,那么它们的关系如下:
a+b=38a-b-10这样一来,我们就用代数简单地表达了哥哥和弟弟年龄的关系,实现了建模环节。
这样,也就自然地引入了方程的概念。
对人类思维的简化:把逆向思考正向化在小学阶段,很多难题都有一个共同特点,题目缺少条件,很难正向思考,必须逆向推理。
比如,在线全职美工前面那道题目,如果没有引入代数,大多数人就卡住了,要么就干脆一个一个试。工作量巨大,很多人可能就放弃了。
如果不使用代数和方程的话,我们就需要引入一些高阶的思维方式。例如,假设法:
假设哥哥和弟弟一样大的话,他们年龄的总和就应该是多少呢?
从题目中知道,哥哥和弟弟的年龄之和是38岁,哥哥比弟弟大10岁。假设弟弟和哥哥一样大的话,他们的年龄之和应该就是:38+10=48,也就是两个哥哥的年龄。那么哥哥的年龄就应该是24岁。
但是这种思维方式,比较抽象,很多小朋友很难理解。
而有了代数之后,我们就可以根据题目条件,直接简单地表示出哥哥和弟弟年龄的关系,建立模型求解。
在客观世界中,有了代数,人们就可以轻松地正向思考,用代数建立模型,形成方程,从而大幅度简化了思考的强度。
尤其在信息时代,一旦可以用代数建立模型,我们就可以利用计算机快速求解。进一步降低了人的思考和计算强度。
三者融合:认识世界、理解世界和改变世界前面代数的三大能量整合起来,是对人类社会的高度赋能,打通了人们认识世界、理解世界和改变世界的循环。
认识世界:运用代数思想,我们可以对客观世界方便快速地建模。理解世界/改变世界:基于代数对运算规律的提炼,我们可以方便地对模型和方程求解。从而找到本质规律,规划高效的解决方案。这是代数思想对整个人类世界的贡献,例如天体运动的研究、飞机火箭的研发设计、病理分析、药物的研发等。
代数思想落实到小学阶段的应用,则体现为:
1)用字母表示数,我们研究和表示了数与运算的规律
2)用代数建模,形成方程,我们简化了对复杂应用题的理解
3)用1)的规律,我们产生了对方程的通用解法,从而把2)中的模型高效地求解
从K12教育的角度,代数也占据着核心位置:
1)从数学知识脉络来看:代数是算术的延伸和变革,同时,也是后续解析几何、微积分等高等数学的基础
2)从中学数学教学角度来看:代数自身就是核心内容。例如多项式、函数、一元二次方程等。同时,解析几何、微积分等内容也是代数的延伸
3)从中学物理教学的角度来看:代数也是研究物理学的基础工具。代数知识不扎实,物理多数也学不好
美工在2022数学新课标中,也明确提出培养学生的三个核心素养:
(1)会用数学的眼光观察现实世界
数学为人们提供了一种认识与探究现实世界的观察方式。通过数学的眼光,可以从现实世界的客观现象中发现数量关系与空间形式,提出有意义的数学问题;能够抽象出数学的研究对象及其属性,形成概念、关系与结构;能够理解自然现象背后的数学原理,感悟数学的审美价值;形成对数学的好奇心与想象力,主动参与数学探究活动,发展创新意识。
(2)会用数学的思维思考现实世界
数学为人们提供了一种理解与解释现实世界的思考方式。通过数学的思维,可以揭示客观事物的本质属性,建立数学对象之间、数学与现实世界之间的逻辑联系;能够根据已知事实或原理,合乎逻辑地推出结论,构建数学的逻辑体系;能够运用符号运算、形式推理等数学方法,分析、解决数学问题和实际问题;能够通过计算思维将各种信息约简和形式化,进行问题求解与系统设计;形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质,培养科学态度与理性精神。
(3)会用数学的语言表达现实世界
数学为人们提供了一种描述与交流现实世界的表达方式。通过数学的语言,可以简约、精确地描述自然现象、科学情境和日常生活中的数量关系与空间形式;能够在现实生活与其他学科中构建普适的数学模型,表达和解决问题;能够理解数据的意义与价值,会用数据的分析结果解释和预测不确定现象,形成合理的判断或决策;形成数学的表达与交流能力,发展应用意识与实践能力。
代数思想也就体现和落实了「用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界」。
很多家长认为,学习代数好像也没什么用,就是为了解题拿高分,但代数思想的本质是帮助我们理解世界和改变世界的。
因此,作为家长网店装修,我们不仅需要帮助娃掌握代数知识,更要帮助他们理解背后的代数思想和巨大能量。让他们感受和体验代数思想如何帮助人类认识世界、理解世界和改变世界的。
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